問題詳情：
已知函數f(x)＝x－lnx，g(x)＝
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(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)求*：對任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>
.(注：e≈2.718 28…是自然對數的底數．)
【回答】
解析 (1)∵f(x)＝x－lnx(x>0)，∴f′
．
由f(x)>0，得x>1，由f(x)<0，得0<x<1.
∴f(x)的單調遞增區間是(1，＋∞)，單調遞減區間是(0,1)．
(2)由(1)知，當x∈(0，e]時，f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，e]上單調遞增．
∴當x＝1時，[f(x)]min＝f(1)＝1.
∵g(x)＝
(x>0)，∴g′(x)＝
(x>0)．
當x∈(0，e]時，g(x)≥0，∴g(x)在(0，e]上單調遞增．
∴當x∈(0，e]時，[g(x)]max＝g(e)＝
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對任意的m，n ∈(0，e]，f(m)－g(n)≥[f(m)]min－[g(n)]max＝1－
>
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即*得，對任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>
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知識點：函數的應用
題型：解答題
