問題詳情：
已知函數f(x)＝ln (x＋1)－
－x，a∈R.
(1)當a>0時，求函數f(x)的單調區間；
(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－
(a∈Z)成立，求a的最小值．
【回答】
解 (1)f′(x)＝
，x>－1.
當a≥
時，f′(x)≤0，∴f(x)在(－1，＋∞)上單調遞減．
當0<a<
時，
當－1<x<
時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；
當
<x<
時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；
當x>時，f′(x)<0，f(x)單調遞減．
綜上，當a≥時，f(x)的單調遞減區間爲(－1，＋∞)；
當0<a<時，f(x)的單調遞減區間爲
，
，
f(x)的單調遞增區間爲
.
(2)原式等價於ax>(x＋1)ln (x＋1)＋2x＋1，
即存在x>0，使
成立．
設
，x>0，
則
，x>0，
設h(x)＝x－1－ln (x＋1)，x>0，
則h′(x)＝1－
>0，∴h(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
又h(2)<0，h(3)>0，根據零點存在*定理，可知h(x)在(0，＋∞)上有唯一零點，設該零點爲x0，則x0－1＝ln (x0＋1)，且x0∈(2,3)，
∴
又a>x0＋2，a∈Z，∴a的最小值爲5.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
