問題詳情：
已知函數f(x)＝
x2－alnx(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2時取得極值，求a的值；
(2)求f(x)的單調區間；
(3)求*：當x>1時，
x2＋lnx<
x3.
【回答】
解：(1)f′(x)＝x－
，因爲x＝2是
一個極值點，
所以2－
＝0.所以a＝4.
此時f′(x)＝x－
＝
因爲f(x)的定義域是{x|x>0}，
所以當0<x<2時，f′(x)<0；當x>2時，f′(x)>0.
所以當a＝4時，x＝2是f(x)的極小值點．所以a＝4.
(2)因爲f′(x)＝x－
，
所以當a≤0時，f(x)的單調遞增區間爲(0，＋∞)．
當a>0時，f′(x)＝x－＝
令f′(x)>0有x>
，
所以函數f(x)的單調遞增區間爲(
，＋∞)；
令f′(x)<0有0<x<
，
所以函數f(x)的單調遞減區間爲(0，)．
(3)*：設g(x)＝
x3－
x2－lnx，
則g′(x)＝2x2－x－
，
因爲當x>1時，g′(x)＝
>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上是增函數．
所以g(x)>g(1)＝
>0.
所以當x>1時，
x2＋lnx<x3.
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
