問題詳情：
設a爲實數，函數f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的極值；
(2)當a在什麼範圍內取值時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點？
【回答】
(1)f(x)的極大值是f(－)＝
＋a，極小值是f(1)＝a－1.(2)
.
【解析】試題分析：
(1)首先求得導函數，然後列表考查函數的單調*，據此可得f(x)的極大值是f(－)＝
＋a，極小值是f(1)＝a－1.
(2)由題意結合(1)中的極值的結論可得實數a的取值範圍是
.
試題解析：
(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，則x＝－
或x＝1.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x | (－∞，－ | － | (－ | 1 | (1，＋∞) |
f′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
f(x) | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
) 
，1)所以f(x)的極大值是f(－
)＝
＋a，
極小值是f(1)＝a－1.
(2)函數f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足夠大的正數時，
有f(x)＞0，x取足夠小的負數時，有f(x)＜0，
曲線y＝f(x)與x軸至少有一個交點．
由(1)知f(x)極大值＝f(－
)＝
＋a，
f(x)極小值＝f(1)＝a－1.
∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點，
∴f(x)極大值＜0或f(x)極小值＞0，
即
＋a＜0或a－1＞0，
∴a＜－
或a＞1，
∴當a∈(－∞，－
)∪(1，＋∞)時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點．
點睛：(1)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．
(2)若f(x)在(a，b)內有極值，那麼f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值．
知識點：導數及其應用
題型：解答題
