問題詳情：
已知函數f(x)＝(ax－x2)ex.
(1)當a＝2時，求f(x)的單調遞減區間；
(2)若函數f(x)在(－1,1]上單調遞增，求a的取值範圍；
(3)函數f(x)是否可爲R上的單調函數？若是，求出a的取值範圍，若不是，說明理由．
【回答】
解 (1)當a＝2時，f(x)＝(2x－x2)ex.
f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex，
＝(2－x2)ex，
令f′(x)<0，即2－x2<0，解得x<－
或x>
，
所以函數f(x)的單調遞減區間爲(－∞，－
)和(，＋∞)．
(2)函數f(x)在(－1,1]上單調遞增，
所以f′(x)≥0，對於x∈(－1,1]都成立，
即f′(x)＝[a＋(a－2)x－x2]ex≥0，對於x∈(－1,1]都成立，
故有a≥
＝x＋1－
，
令g(x)＝x＋1－
，則g′(x)＝1＋
>0，
故g(x)在(－1,1]上單調遞增，g(x)max＝g(1)＝
，
所以a的取值範圍是[
，＋∞)．
(3)假設f(x)爲R的上單調函數，則爲R的上單調遞增函數或單調遞減函數．
①若函數f(x)爲R上單調遞增函數，則f′(x)≥0，對於x∈R都成立，
即[a＋(a－2)x－x2]ex≥0恆成立．
由ex>0，x2－(a－2)x－a≤0對於x∈R都恆成立，
由h(x)＝x2－(a－2)x－a是開口向上的拋物線，
則h(x)≤0不可能恆成立，
所以f(x)不可能爲R上的單調增函數．
②若函數f(x)爲R上單調遞減函數，則f′(x)≤0，對於x∈R都成立，
即[a＋(a－2)x－x2]ex≤0恆成立，
由ex>0，x2－(a－2)x－a≥0對於x∈R都恆成立，
故由Δ＝(a－2)2＋4a≤0，整理得a2＋4≤0，顯然不成立，
所以，f(x)不能爲R上的單調遞減函數．
綜上，可知函數f(x)不可能爲R上的單調函數．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
