問題詳情：
設函數f(x)＝xex+a(1-ex)+1．
（1）求函數f(x)的單調區間；
（2）若函數f(x)在(0，+∞)上存在零點，*：a＞2．
（二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
【回答】
（1）解：函數f(x)的定義域爲(-∞，+∞)，
因爲f(x)＝xex+a(1-ex)+1，所以f′(x)＝(x+1-a)ex．
所以當x＞a-1時，f′(x)＞0，f(x)在(a-1，+∞)上是增函數；
當x＜a-1時，f′(x)＜0，f(x)在(-∞，a-1)上是減函數．
所以f(x)在(a-1，+∞)上是增函數，在(-∞，a-1)上是減函數．
（2）*：由題意可得，當x＞0時，f(x)＝0有解，
即
有解．
令
，則
．
設函數h(x)＝ex-x-2，h′(x)＝ex-1＞0，所以h(x)在(0，+∞)上單調遞增．
又h(1)＝e-3＜0，h(2)＝e2-4＞0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零點．
故g′(x)在(0，+∞)上存在唯一的零點．設此零點爲k，則k∈(1，2)．
當x∈(0，k)時，g′(x)＜0；當x∈(k，+∞)時，g′(x)＞0．
所以g(x)在(0，+∞)的最小值爲g(k)．
又由g′(k)＝0，可得ek＝k+2，所以
，
因爲a＝g(x)在(0，+∞)上有解，所以a≥g(k)＞2，即a＞2．
知識點：導數及其應用
題型：解答題
