問題詳情：
已知函數f(x)=alnx+x2+bx (a,b爲常數).
(Ⅰ) 若
，求函數f(x)的單調區間；
(Ⅱ) 若
，求函數f(x)在[1,e]上的最小值及相應的x值；
(Ⅲ) 設b=0,若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求實數a的取值範圍．
【回答】
【*】 (1)當a=-2,b=-3時,f(x)=-2lnx+x2-3x,f(x)的定義域爲(0,+∞),
f'(x)=-
+2x-3=
.
令f'(x)=0,得x=2,
所以當x∈(0,2)時,f'(x)<0,當x∈(2,+∞)時,f'(x)>0,
所以函數f(x)的單調遞增區間爲(2,+∞),單調遞減區間爲(0,2).
(2)因爲b=0,所以f(x)=alnx+x2,
所以f'(x)=
(x>0),又x∈[1,e],所以2x2+a∈[a+2,a+2e2].
①若a≥-2,則f'(x)在[1,e]上非負(當且僅當a=-2,x=1時,f'(x)=0),
故函數f(x)在[1,e]上是增函數,
此時f(x)min=f(1)=1,且x=1.
②若-2e2<a<-2,則a+2<0,a+2e2>0,
f'(x)=
,x∈[1,e],
當x=
時,f'(x)=0,此時-2e2<a<-2,1<
<e,
當
<x≤e時,f'(x)>0,此時f(x)是增函數;
當1≤x<
時,f'(x)<0,此時f(x)是減函數.
故f(x)min=f()=
ln(-
)-
,此時x=.
(3)因爲b=0,所以f(x)=alnx+x2,
不等式f(x)≤(a+2)x,即alnx+x2≤(a+2)x,可化爲a(x-lnx)≥x2-2x,
因爲x∈[1,e],所以lnx≤1≤x,且等號不能同時取到,
所以lnx<x,即x-lnx>0,因而a≥(
)min(x∈[1,e]).
令g(x)=
(x∈[1,e]),則g'(x)=
,
當x∈[1,e]時,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,
從而g'(x)≥0(當且僅當x=1時取等號),所以g(x)在[1,e]上爲增函數,
故g(x)的最小值爲g(1)=-1,所以實數a的取值範圍是[-1,+∞).
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
