問題詳情：
已知函數f(x)=x2+2alnx.
(1)求函數f(x)的單調區間.
(2)若函數g(x)=
+f(x)在[1,2]上是減函數,求實數a的取值範圍.
【回答】
【解析】(1)f′(x)=2x+
=
,函數f(x)的定義域爲(0,+∞).
①當a≥0時,f′(x)>0,f(x)的單調遞增區間爲(0,+∞);
②當a<0時,f′(x)=
.
當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下:
x | (0, |
| ( |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | 遞減 | 遞增 |
)
,+∞)由表格可知,函數f(x)的單調遞減區間是(0,
).
單調遞增區間是(
,+∞).
(2)由g(x)=
+x2+2alnx得g′(x)=-
+2x+
,
由已知函數g(x)爲[1,2]上的單調減函數,則g′(x)≤0在[1,2]上恆成立,
即-
+2x+
≤0在[1,2]上恆成立.即a≤
-x2在[1,2]上恆成立.
令h(x)=
-x2,在[1,2]上h′(x)=-
-2x
=-
<0,
所以h(x)在[1,2]上爲減函數,h(x)min=h(2)
=-
,所以a≤-
.
故實數a的取值範圍爲{a|a≤-
}.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
