已知函數f（x）＝x2﹣2．（1）已知函數g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在區間（0，1）上單調，求...

問題詳情：

已知函數f（x）＝x2﹣2．

（1）已知函數g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在區間（0，1）上單調，求實數a的取值範圍；

（2）函數有幾個零點？

【回答】

【解答】解：（1）∵函數f（x）＝x2﹣2，函數g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在區間（0，1）上單調，

∴0＜x＜1時，g′（x）＝2x+2+＞0恆成立，即a＞﹣2x2﹣2x＝﹣2+，

而m（x）＝﹣2+ 在區間（0，1）上單調遞減，∴﹣2+＜m（0）＝0，∴a≥0．

（2）∵函數＝ln（1+x2）﹣（x2﹣2）﹣k＝ln（1+x2）﹣x2+1﹣k  的定義域爲R，

h′（x）＝﹣x﹣0＝，令h′（x）＝0，求得x＝0，或x＝1 或x＝﹣1，

列表：

當1﹣k＞0且ln2+﹣k＞0時，即 k＜1時，函數h（x）有2個零點；

當1﹣k＝0且 ln2+﹣k＞0時，即k＝1時，函數h（x）有3個零點；

當1﹣k＜0且ln2+﹣k＞0時，即1＜k＜ln2+ 時，函數h（x）有4個零點；

 當1﹣k＜0且ln2+﹣k＜0時，即 k＞ln2+ 時，函數h（x）有沒有零點．

【點評】本題主要考查函數的零點，函數的單調*與導數的關係，利用導數求函數的最值，屬於難題．

知識點：導數及其應用

題型：解答題