問題詳情:
已知函數 f(x)=x2﹣(3a+1)x+2a(a+1)lnx(a>0)
(Ⅰ)若函數f(x)在x=1處的切線與直線3x﹣y+2=0平行,求a的值:
(Ⅱ)求函數f(x)的單調區間;
(Ⅲ)在(I)的條什下,若對職∀x∈[1,e],f(x)≥k2+6k恆成立,求實數k的取值範圍.
【回答】
【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程;利用導數研究函數的單調*.
【專題】導數的綜合應用.
【分析】(Ⅰ)由導數值即曲線的斜率即可求得;
(Ⅱ)利用導數求函數的單調區間,注意對a進行討論;
(Ⅲ)把不等式恆成立問題轉化爲求函數的最值問題解決,對∀x∈[1,e],f(x)≥k2+6k恆成立,即求f(x)min≥k2+6k恆成立.
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=x﹣(3a+1)+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分
∵函數f(x)在x=1處的切線與直線3x﹣y+2=0平行,
∴f′(1)=1﹣(3a+1)+2a(a+1)=3,即2a2﹣a﹣3=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
解得a=或a=﹣1(不符合題意,捨去),∴a=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
(Ⅱ)函數f(x)的定義域爲(0,+∞),f′(x)=x﹣(3a+1)+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
①當0<a<1時,2a<a+1,∴當0<x<2a或x>a+1時,f′(x)>0,
當2a<x<a+1時,f′(x)<0,
∴函數f(x)在(0,2a)和(a+1,+∞)上單調遞增,在(2a,a+1)上單調遞減.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分
②當a=1時,2a=a+1,f′(x)≥0,∴函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分
③當a>1時,2a>a+1,
∴0<x<a+1或x>2a時,f′(x)>0;a+1<x<2a時,f′(x)<0,
∴函數f(x)在(0,a+1)和(2a,+∞)上單調遞增,在(a+1,2a)上單調遞減.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分
(Ⅲ)當a=時,f(x)=﹣+lnx,
由(Ⅱ)知函數f(x)在(0,)上單調遞增,在(,3)上單調遞減,
因此f(x)在區間1,e]的最小值只能在f(1)或f(e)中取得.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分
∵f(1)=﹣5,f(e)=﹣+,
∴f(e)﹣f(1)=.
設g(x)=x2﹣11x+25,則g(x)在(﹣∞,)上單調遞減,且e<3<,
∴g(e)>g(3),故f(e)﹣f(1)>0.
∴f(x)在區間1,e]的最小值是f(1)=﹣5.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分
若要滿足對對∀x∈[1,e],f(x)≥k2+6k恆成立,只需f(x)min≥k2+6k恆成立,
即求﹣5≥k2+6k恆成立,即k2+6k+5≤0,解得﹣5≤k≤﹣1.
∴實數k的取值範圍是[﹣5,﹣1].﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分
【點評】考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率,會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減*得到函數的最值.掌握不等式恆成立時所取的條件.體會數學轉化思想的運用.
知識點:導數及其應用
題型:解答題