問題詳情:
已知f(x)=ax2﹣2(a+1)x+3(a∈R).
(1)若函數f(x)在單調遞減,求實數a的取值範圍;
(2)令h(x)=,若存在,使得|h(x1)﹣h(x2)|≥成立,求實數a的取值範圍.
【回答】
【解答】解:(1)①當a=0時,f(x)=﹣2x+3,顯然滿足;
②,③,
綜上:.
(2)存在,使得|h(x1)﹣h(x2)|≥成立即:
在上,h(x)max﹣h(x)min≥成立,
因爲,令,
則,.
(i)當a≤0時,g(t)在單調遞減,所以,
等價於,所以a≤0.
(ii)當0<a<1時,,g(t)在上單調遞減,
在上單調遞增.
①當時,即,g(t)在單調遞增.
由得到,所以.
②當時,時,g(t)在單調遞減,
由得到,所以.
③當,即時,,
最大值則在g(2)與中取較大者,作差比較,得到分類討論標準:
a.當時,,此時,
由,
得到或,
所以.
b.當時,,此時g(t)max=g(2),
由,得到,
所以此時a∈∅,
在此類討論中,.
c.當a≥1時,g(t)在單調遞增,由,
得到,所以a≥1,
綜合以上三大類情況,a∈(﹣∞,]∪[,+∞).
知識點:*與函數的概念
題型:解答題