問題詳情:
已知函數f(x)=x|x﹣2a|+a2﹣4a(a∈R).
(Ⅰ)當a=﹣1時,求f(x)在[﹣3,0]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若方程f(x)=0有3個不相等的實根x1,x2,x3,求++的取值範圍.
【回答】
【解答】解:(Ⅰ)∵a=﹣1,
∴f(x)=x|x+2|+5=,
x∈[﹣2,0]時,4≤f(x)≤5,
x∈[﹣3,﹣2]時,2≤f(x)≤5,
∴f(x)min=f(﹣3)=2,f(x)max=f(0)=5;
(Ⅱ)∵f(x)=,
①若a>0,∵方程f(x)=0有3個不相等的實根,
故x<2a時,方程f(x)=﹣x2+2ax+a2﹣4a=0有2個不相等的實根,
x≥2a時,方程f(x)=x2﹣2ax+a2﹣4a=0有1個不相等的實根,
∴,解得:2<a<4,
不妨設x1<x2<x3,則x1+x2=2a,x1x2=﹣a2+4a,x3=a+2,
∴++=+=﹣>,
∴++的範圍是(,+∞),
②若a<0,當x>2a時,方程f(x)=x2﹣2ax+a2﹣4a=0的判別式小於0,
不符合題意;
③a=0時,顯然不和題意,
故++的範圍是(,+∞).
知識點:*與函數的概念
題型:解答題