問題詳情：
設函數f（x）=﹣
x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1）
（1）求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）當x=
時，f（x）有極小值
，求a，b的值．
【回答】
【考點】6B：利用導數研究函數的單調*；6D：利用導數研究函數的極值．
【分析】（1）對f（x）求導，利用導數來判斷f（x）的增減*，並求出極值；
（2）由（1）的結論，求出a、b的值．
【解答】解：（1）∵f（x）=﹣
x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1），
∴f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表如下：
x | （﹣∞，a） | a | （a，3a） | 3a | （3a，+∞） |
f′（x） | ﹣ | 0 | + | 0 | ﹣ |
f（x） | 遞減 | ﹣ | 遞增 | b | 遞減 |
由表可知：當x∈（﹣∞，a）時，函數f（x）爲減函數，
當x∈（3a，+∞）時，函數f（x）也爲減函數，
當x∈（a，3a）時，函數f（x）爲增函數；
∴函數f（x）的單調減區間爲（﹣∞，a），（3a，+∞），單調增區間爲（a，3a）；
當x=a時，f（x）的極小值爲﹣
a3+b，
當x=3a時，f（x）的極大值爲b；
（2）當x=
時，f（x）有極小值
，
根據（1）得，a=
，且﹣
a3+b=
，
即﹣
×
+b=，解得b=
；
綜上，a=
，b=
．
知識點：導數及其應用
題型：解答題
