問題詳情:
已知函數f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x. (1)討論f(x)的單調*; (2)當a<0時,*f(x)≤ - - 2.
【回答】
解:因爲f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x, 求導f′(x)=+2ax+(2a+1)==,(x>0), ①當a=0時,f′(x)=+1>0恆成立,此時y=f(x)在(0,+∞)上單調遞增; ②當a>0,由於x>0,所以(2ax+1)(x+1)>0恆成立,此時y=f(x)在(0,+∞)上單調遞增; ③當a<0時,令f′(x)=0,解得:x=-, 因爲當x∈(0,-)時f′(x)>0;當x∈(-,+∞)時,f′(x)<0, 所以y=f(x)在(0,-)上單調遞增、在(-,+∞)上單調遞減; 綜上可知:當a≥0時f(x)在(0,+∞)上單調遞增, 當a<0時,f(x)在(0,-)上單調遞增、在(-,+∞)上單調遞減. (2)*:由(1)可知:當a<0時f(x)在(0,-)上單調遞增、在(-,+∞)上單調遞減, 所以當x=-時函數y=f(x)取最大值f(x)max=f(-)=-1-ln2-+ln(-), 從而要*f(x)≤--2,即*f(-)≤--2, 即*-1-ln2-+ln(-)≤--2,即*-(-)+ln(-)≤-1+ln2; 令t=-,則t>0,問題轉化爲*:-t+lnt≤-1+ln2,(*) 令g(t)=-t+lnt,則g′(t)=-+, 令g′(t)=0可知t=2,則當0<t<2時g′(t)>0,當t>2時g′(t)<0, 所以y=g(t)在(0,2)上單調遞增、在(2,+∞)上單調遞減, 即g(t)≤g(2)=-×2+ln2=-1+ln2,即(*)式成立, 所以當a<0時,f(x)≤--2成立.
知識點:導數及其應用
題型:解答題