已知函數f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函數f(x)爲奇函數，求實數k的值；(2)若對任意的x∈[...

問題詳情：

已知函數f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.

(1)若函數f(x)爲奇函數，求實數k的值；

(2)若對任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x成立，求實數k的取值範圍．

【回答】

解：(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，

即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，

∴(1＋k)2x＋(k＋1)22x＝0對一切x∈R恆成立，

∴k＝－1.

(2)∵對x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，即2x＋k·2－x>2－x成立，

∴1－k<22x對x≥0恆成立．

∴1－k<(22x)min(x≥0)，

又y＝22x在[0，＋∞)上單調遞增，∴(22x)min＝1，

∴k>0.

知識點：基本初等函數I

題型：解答題