問題詳情：
設函數f(x)＝
，x≠0.
(1)判斷函數f(x)在(0，＋∞)上的單調*；
(2)*：對任意正數a，存在正數x，使不等式|f(x)－1|＜a成立．
【回答】
解析：(1)f′(x)＝
＝
，
令h(x)＝(x－1)ex＋1，則h
′(x)＝ex＋ex(x－1)＝xex，
當x＞0時，h′(x)＝xex＞0，∴h(x)是(0，＋∞)上的增函數，
所以h(x)＞h(0)＝0，
故f′(x)＝
＞0，即函數f(x)是(0，＋∞)上的增函數．
(2)|f(x)－1|＝
，
當x＞0時，令g(x)＝ex－x－1，則g′(x)＝ex－1＞0，
故g(x)＞g(0)＝0，所以|f(x)－1|＝
，
原不等式化爲
＜a，即ex－(1＋a)x－1＜0，
令φ(x)＝ex－(1＋a)x－1，則φ′(x)＝ex－(1＋a)，
由φ′(x)＝0得：
ex＝1＋a，解得x＝ln(1＋a)，
當0＜x＜ln(1＋a)時，φ′(x)＜0；
當x＞ln(1＋a)時，φ′(x)＞0.
故當x＝ln(1＋a)時，φ(x)取得最小值φ(ln(1＋a))＝a－(1＋a)ln(1＋a)，
令s(a)＝
－ln(1＋a)，a＞0則s′(a)＝
＜0.故s(a)＜s(0)＝0，即φ(ln(1＋a))＝a－(1＋a)ln(1＋a)＜0.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
