問題詳情:
已知函數f(x)=mex(x+1)(m≠0);g(x)=lnx-ax-a2-3a+1。
(1)若f(x)在(0,m)處的切線的方程爲y=-8x-4,求此時f(x)的最值;
(2)若對任意x∈[1,+∞),a∈[-1,0),不等式g(x)>f(a)恆成立,求實數m的取值範圍。
請考生在第22、23題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。
【回答】
解:(1)f(x)=mex(x+2) 令x=0得: f(0)=2m 由題意:2m=-8 ∴m=-4
f(x)=-4 ex(x+2) 由f(x)>0得:x<-2, 由f(x)<0得:x>-2
∴f(x)在(-∞,-2)上單調遞增;在(-2,+∞)上單調遞減
∴fmax(x)=f(-2)=,無最小值;
(2) g(x)>f(a) lnx-ax-a2-3a+1> mea(a+1) lnx-ax> mea(a+1) +a2+3a-1
(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1
令φ(x)= lnx-ax ∵a∈[-1,0) ∴φ(x)= lnx-ax在[1,+∞)上單調遞增 φmin(x)=φ(1)=-a
∴(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1-a> mea(a+1) +a2+3a-1 mea(a+1) +a2+4a-1<0
令h(a)= mea(a+1) +a2+4a-1, a∈[-1,0)
①
當-m2即m≥-2時,h(a)>0,∴h(a)在[-1,0)上單調遞增,若使h(a)<0恆成立,只需h(0)0
m1 ∴m∈[-2,0)∪(0,1]
②當-m≥2e即m-2e時, h(a)0 ∴h(a)在[-1,0)上單調遞減,若使h(a)<0恆成立,只需h(-1)0 即-4<0 m-2e合題意;
∴-2e<m<-2 合題意
綜上,m的取值範圍爲(-∞,0)∪(0,1]
法二:離參法
①若a=-1,則-4<0恆成立,m≠0合題意;
∵a∈(-1,0) ∴t(a)>0 t(a)在(-1,0)上單調遞增
由題意:-mt(0)=-1 即m1 又∵m≠0
∴m的取值範圍爲(-∞,0)∪(0,1]
知識點:基本初等函數I
題型:解答題