問題詳情：
已知函數f(x)＝ln(1＋x)－x＋
x2(k≥0)．
(1)當k＝2時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)求f(x)的單調區間．
【回答】
解： (1)當k＝2時，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝
－1＋2x.
由於f(1)＝ln 2，f′(1)＝
，
所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程爲
y－ln 2＝
(x－1)，即3x－2y＋2ln 2－3＝0.
(2)f′(x)＝
，x∈(－1，＋∞)．
當k＝0時，f′(x)＝－
所以，在區間(－1,0)上，f′(x)>0；
在區間(0，＋∞)上，f′(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是(－1,0)，
單調遞減區間是(0，＋∞)．
當0<k<1時，由f′(x)＝
＝0，
得x1＝0，x2＝
>0.
所以，在區間(－1,0)和(
，＋∞)上，f′(x)>0；
在區間(0，
)上，f′(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是(－1,0)和(
，＋∞)，
單調遞減區間是(0，
)．
當k＝1時，f′(x)＝
故f(x)的單調遞增區間是(－1，＋∞)．
當k>1時，由f′(x)＝
＝0，
得x1＝
∈(－1,0)，x2＝0.
所以，在區間(－1，
)和(0，＋∞)上，f′(x)>0；
在區間(
，0)上，f′(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是(－1，
)和(0，＋∞)，
單調遞減區間是(
，0)．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
