問題詳情：
已知函數f(x)＝aln x＝
(a爲常數)．
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x＋2y－5＝0垂直，求a的值；
(2)求函數f(x)的單調區間；
(3)當x≥1時，f(x)≤2x－3恆成立，求a的取值範圍．
【回答】
解 (1)函數f(x)的定義域爲{x|x＞0}，f′(x)＝
.
又曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x＋2y－5＝0垂直，
所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(4分)
(2)由f′(x)＝
(x＞0)，
當a≥0時，
f′(x)＞0恆成立，所以f(x)的單調增區間爲(0，＋∞)．
當a＜0時，
由f′(x)＞0，得0＜x＜－
，
所以f(x)的單調增區間爲
；
由f′(x)＜0，得x＞－
，
所以f(x)的單調減區間爲
(3)設g(x)＝aln x－
－2x＋3，x∈[1，＋∞)，
令h(x)＝－2x2＋ax＋1，考慮到h(0)＝1＞0，
當a≤1時，
h(x)＝－2x2＋ax＋1的對稱軸x＝
＜1，
h(x)在[1，＋∞)上是減函數，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，
所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是減函數，
所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x2－3恆成立．
當a＞1時，
令h(x)＝－2x2＋ax＋1＝0，
當x∈[1，x1)時，h(x)＞0，即g′(x)＞0，
g(x)在[1，x1)上是增函數；
當x∈(x1，＋∞)時，h(x)＜0，即g′(x)＜0，
g(x)在(x1，＋∞)上是減函數．
所以0＝g(1)＜g(x1)，即f(x1)＞2x1－3，不滿足題意．
綜上，a的取值範圍爲a≤1.(16分)
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
