已知函數f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直...

問題詳情：

已知函數f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直．求a的值和切線l的方程．

【回答】

解：因爲f(x)＝x3－2x2＋ax，

所以f′(x)＝x2－4x＋a.

由題意可知，方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有兩個相等的實根．所以Δ＝16－4(a＋1)＝0，所以a＝3.

所以f′(x)＝x2－4x＋3＝－1可化爲x2－4x＋4＝0.

解得切點橫座標爲x＝2，

所以f(2)＝×8－2×4＋2×3＝，

所以切線l的方程爲y－＝(－1)×(x－2)，即3x＋3y－8＝0.

所以a＝3，切線l的方程爲3x＋3y－8＝0.

知識點：導數及其應用

題型：解答題