問題詳情：
已知函數f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；
(2)直線l爲曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點座標；
(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－
x＋3垂直，求切點座標與切線的方程。
【回答】
解 (1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f′(x)在點(2，－6)處的切線的斜率爲k＝f′(2)＝13.
∴切線的方程爲y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一 設切點爲(x0，y0)，
則直線l的斜率爲f′(x0)＝3x
＋1，
∴直線l的方程爲y＝(3x
＋1)(x－x0)＋x
＋x0－16，
又∵直線l過點(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x
＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直線l的方程爲y＝13x，切點座標爲(－2，－26.)
法二 設直線l的方程爲y＝kx，切點爲(x0，y0)，
則k＝
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴
＝3x＋1，
解之得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直線l的方程爲y＝13x，切點座標爲(－2，－26)．
(3)∵切線與直線y＝－
x＋3垂直，
∴切線的斜率k＝4.
設切點的座標爲(x0，y0)，則f′(x0)＝3x
＋1＝4，
∴x0＝±1，
∴
切線方程爲y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
知識點：函數的應用
題型：解答題
