已知函數f(x)＝x2－ax＋2lnx，a∈R.(Ⅰ)若曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線垂直於直線y...

問題詳情：

已知函數 f(x)＝x2－ax＋2lnx，a∈R.

(Ⅰ)若曲線 y＝f(x)在(1，f(1))處的切線垂直於直線 y＝x，求函數 f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若 x>1 時，f(x)>0 恆成立，求實數 a 的取值範圍．

【回答】

解：(Ⅰ)依題意，a＝ 2

，解得             ，

 2    2   2b＝1

a  ＝b ＋c

x2    2

故橢圓 C 的方程爲4 ＋y ＝1.      4 分

(Ⅱ)如圖，依題意，直線 l 的斜率必存在，

設直線 l 的方程爲 y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y＝kx＋2

聯立方程組x2          2

 4 ＋y ＝1，消去 y 整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，

－16k                    12由韋達定理，x1＋x2＝2，x1x2＝2，

1＋4k2

1＋4k    12k2－32k2

∴ y1y2 ＝(kx1 ＋ 2)(kx2 ＋ 2) ＝ k x1x2 ＋ 2k(x1 ＋ x2) ＋ 4 ＝ 1＋4k2 ＋ 1＋4k2 ＋ 4 ＝

4－4k2

1＋4k2，

因爲直線 l 與橢圓 C 相交，則Δ>0， 即 256k2－48(1＋4k2)>0，

2 或

k>

8 分

2 ，

解得 k<－ 3              3

當∠AOB 爲銳角時，向量O→A·O→B>0，則 x1x2＋y1y2>0，

    12   4－4k2

即      2＋      2>0，解得－2<k<2，     10 分

1＋4k    1＋4k

 

故當∠AOB 爲銳角時，k∈(－2，－ 3 ∪ 3

(

2).    12 分

2 )    2 ，

21．解：(Ⅰ)f(x)定義域爲(0，＋∞)，f′(x)＝2x－a

2 f′(1)＝4－a＝－1 ，

a＝5，

＋x，

2                                                   2  2x2－5x＋2             x－2               2x－1        

f(x)＝x －5x＋2lnx，f′(x)＝2x－5＋x＝      x         ＝         x                 ，

當 x>2 或 0<x<1             f′(x)>0，當1時，f′(x)<0，

2時，              2<x<2

故 f(x)的單調遞增區間爲(0，1)，(2，＋∞)，單調遞減區間爲(1，2).           6

2                                2

分

x2＋2lnx

(Ⅱ)由 f(x)>0，得 a<     x       在 x>1 時恆成立，

x2＋2lnx           x2＋2－2lnx

令 g(x)＝              x       ，g′(x)＝                  x2

x>0

令 h(x)＝x2＋2－2lnx，h′(x)＝2x－2

在 x>1 時成立，

所以 h(x)在(1，＋∞)爲增函數，h(x)>h(1)＝3>0 .

故 g′(x)>0，故 g(x)在(1，＋∞)爲增函數．g(x)>g(1)＝1， 所以 a≤1，即實數 a 的取值範圍爲(－∞，1].                                    12 分

選考題

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題