問題詳情：
已知函數f(x)＝ax3＋bx2經過點M(1,4)，在點M處的切線恰與直線x＋9y＋5＝0垂直．
(1)求a，b的值；
(2)若函數f(x)在區間[m－1，m＋1]上單調遞增，求實數m的取值範圍．
【回答】
解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx.
由已知得
即
∴a＝1，b＝3.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋3x2，
∴f′(x)＝3x(x＋2)．
令f′(x)>0，解得x≤－2或x≥0，
∴f(x)在區間(－∞，－2)和[0，＋∞)上單調遞增．若f(x)在[m－1，m＋1]上單調遞增，
則[m－1，m＋1]⊆(－∞，－2)或[m－1，m＋1]⊆[0，＋∞)，
∴m＋1≤－2或m－1≥0.
∴m≤－3或m≥1.
∴m的取值範圍是m≤－3或m≥1.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
