問題詳情:
在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD爲菱形,∠ABC=60°,PB=PD.
(1)*:BD⊥平面PAC;
(2)若PA⊥CD,2PA=CD,求二面角D-PC-A的餘弦值.
【回答】
(1)*見解析;(2).
【解析】
(1)透過*BD⊥PO和BD⊥AC即可*BD⊥平面PAC;
(2)取BC的中點E,分別以AE,AB,PA爲x,y,z軸建立空間座標系如圖,利用向量法可求得.
【詳解】
(1)*:設AC與BD的交點爲O,連接PO,
因爲PB=PD,所以BD⊥PO,
因爲ABCD爲菱形,所以BD⊥AC,
因爲PO∩AC=O,PO,AC平面PAC,所以BD⊥平面PAC;
(2)因爲BD⊥平面PAC,PA平面PAC,所以PA⊥BD,
又因爲PA⊥CD,CD∩BD=D,CD,BD平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD,
取BC的中點E,分別以AE,AB,PA爲x,y,z軸建立空間座標系如圖,
設PA=a,則CD=AC=2a,,所以,,
設平面PCD的一個法向量爲,
則,得,令,得,
由因爲BD⊥平面PAC,
所以爲平面PAC的一個法向量,且,
設二面角A-PC-D的平面角爲θ,則,
由圖可知θ爲銳角,所以.
【點睛】
本題考查線面垂直的*,考查向量法求面面角,屬於中檔題.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題