問題詳情：
在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長爲2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．
（Ⅰ）*：PC⊥BD
（Ⅱ）若E是PA的中點，且△ABC與平面PAC所成的角的正切值爲
，求二面角A﹣EC﹣B的餘弦值．
【回答】
*：（Ⅰ）因爲底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分） 又PB=PD，且O是BD中點，所以BD⊥PO．（2分）
PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分） 又PC⊂面PAC，所以BD⊥PC．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的*影， 所以∠OEB是BE與面PAC所成的角．
在Rt△BOE中，
，BO=1，所以
．
在Rt△PEO中，
，
，所以
．
所以
，又
， 所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．
又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（6分）
如圖，以
建立空間直角座標系，
，B（0，1，0），
，
，
，
，
．（9分）
設面BEC的法向量爲
，則
，
即
，得方程的一組解爲
，
即
．（10分）
又面AEC的一個法向量爲
，（11分）
所以
，所以二面角A﹣EC﹣B的餘弦值爲
．（12分）
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
