問題詳情:
[2012·天津卷] 如圖1-4,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.
(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值;
(2)*平面PDC⊥平面ABCD;
(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.
圖1-4
【回答】
解:(1)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,因爲底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,又因爲AD⊥PD,故∠PAD爲異面直線PA與BC所成的角.
在Rt△PDA中,tan∠PAD==2.
所以,異面直線PA與BC所成角的正切值爲2.
(2)*:由於底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由於AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.
(3)在平面PDC內,過點P作PE⊥CD交直線CD於點E,連接EB.
由於平面PDC⊥平面ABCD,而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE爲直線PB與平面ABCD所成的角.
在△PDC中,由於PD=CD=2,PC=2,可得∠PCD=30°.
在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=.
由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC.
在Rt△PCB中,PB==.
在Rt△PEB中,sin∠PBE==.
所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值爲.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題