問題詳情：
如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E爲棱PC的中點．用空間向量進行以下*和計算：
(1)*：BE⊥DC；
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F爲棱PC上一點，滿足BF⊥AC，
求二面角F-AB-P的正弦值．
【回答】
解：依題意，以點A爲原點建立空間直角座標系(如圖所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E爲棱PC的中點，得E(1，1，1)．
(1)*：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0，
所以BE⊥DC. 
(2)向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)．設n＝(x，y，z)爲平面PBD的法向量，則
即
不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)爲平面PBD的一個法向量．於是有
cos〈n，BE〉＝
＝
＝
，
所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值爲
.
(3) 向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由點F在棱PC上，設CF＝λ，0≤λ≤1.
故BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝
，即BF＝
.設n1＝(x，y，z)爲平面FAB的法向量，則
即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)爲平面FAB的一個法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，則cos〈n1，n2〉＝
＝
＝－
〈n1，n2〉＝
.所以，二面角F-AB-P的正弦值爲
.
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
