已知都是各項不爲零的數列，且滿足其中是數列的前項和，是公差爲的等差數列．（1）若數列是常數列，，，求數列的通項...

問題詳情：

已知都是各項不爲零的數列，且滿足其中是數列的前項和，是公差爲的等差數列．

（1）若數列是常數列，，，求數列的通項公式；

（2）若是不爲零的常數），求*：數列是等差數列；

（3）若（爲常數，），．求*：對任意的恆成立．

【回答】

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【分析】

(1)根據,可求得,再根據是常數列代入根據通項與前項和的關係求解即可.

(2)取,並結合通項與前項和的關係可求得再根據化簡可得,代入化簡即可知,再*也成立即可.

(3)由(2) 當時,,代入所給的條件化簡可得,進而*可得,即數列是等比數列.繼而求得,再根據作商法*即可.

【詳解】

解：

．

是各項不爲零的常數列,

則,

則由,

及得,

當時,,

兩式作差,可得．

當時,滿足上式,

則；

*：,

當時,,

兩式相減得：

即．

即．

又,

,

即．

當時,,

兩式相減得：．

數列從第二項起是公差爲的等差數列．

又當時,由得,

當時,由,得．

故數列是公差爲的等差數列；

*：由,當時,

,即,

,

,即,

即

,

當時,即．

故從第二項起數列是等比數列,

當時,．

．

另外,由已知條件可得,

又,

,

因而．

令,

則．

故對任意的恆成立．

【點睛】

本題主要考查了等差等比數列的綜合運用,需要熟練運用通項與前項和的關係分析數列的遞推公式繼而求解通項公式或*等差數列等.同時也考查了數列中的不等式*等,需要根據題意分析數列爲等比數列並求出通項,再利用作商法*.屬於難題.

知識點：數列

題型：解答題