問題詳情：
已知數列
的前
項和爲
，且
成等差數列，
N
,
，函數
．
（1）求數列{
}的通項公式；
（2）設數列
滿足
＝
，記數列{
}的前n項和爲
，試比較
與
的大小．
【回答】
（1）∵－1，Sn，an＋1成等差數列．
∴2Sn＝an＋1－1，①
當n≥2時，2Sn－1＝an－1，②
①－②，得2（Sn－Sn－1）＝an＋1－an，
∴3an＝an＋1，∴
．
當n＝1時，由①得2S1＝2a1＝a2－1，a1＝1，∴a2＝3，∴
．
∴{an}是以1爲首項，3爲公比的等比數列，∴an＝3n－1．
（2）∵f（x）＝log3x，
∴f（an）＝log33n－1＝n－1．
∴bn＝
＝
＝
．
∴
比較Tn與
的大小，只需比較2（n＋2）（n＋3）與312的大小即可．
2（n＋2）（n＋3）－312＝2（n2＋5n＋6－156）
＝2（n2＋5n－150）
＝2（n＋15）（n－10）．
∵n∈N*，∴當1≤n≤9且n∈N*時，2（n＋2）（n＋3）＜312，即Tn＜
；
當n＝10時，2（n＋2）（n＋3）＝312，即Tn＝
；
當n＞10且n∈N*時，2（n＋2）（n＋3）＞312，即Tn＞
．
知識點：數列
題型：解答題
