已知函數f(x)是關於x的二次函數，f′(x)是f(x)的導函數，對一切x∈R，都有x2f′(x)－(2x－1...

問題詳情：

已知函數f(x)是關於x的二次函數，f′(x)是f(x)的導函數，對一切x∈R，都有x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1成立，求函數f(x)的解析式．

【回答】

解：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

則f′(x)＝2ax＋b.

x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，

所以解得

所以f(x)＝2x2＋2x＋1.

知識點：導數及其應用

題型：解答題