已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函數，當x∈[－1,2]時，f(x)的最小值爲1，且f(x)＋g(x)...

問題詳情：

已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函數，當x∈[－1,2]時，f(x)的最小值爲1，且f(x)＋g(x)爲奇函數，求函數f(x)的表達式．

【回答】

解　設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

則f(x)＋g(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3，

又f(x)＋g(x)爲奇函數，∴a＝1，c＝3.

∴f(x)＝x2＋bx＋3，對稱軸x＝－.

當－≥2，即b≤－4時，f(x)在[－1,2]上爲減函數，

∴f(x)的最小值爲f(2)＝4＋2b＋3＝1.

∴b＝－3.∴此時無解．

當－1＜－＜2，即－4＜b＜2時，

f(x)min＝f＝3－＝1，∴b＝±2.

∴b＝－2，此時f(x)＝x2－2x＋3，

當－≤－1，即b≥2時，f(x)在[－1,2]上爲增函數，

∴f(x)的最小值爲f(－1)＝4－b＝1.

∴b＝3.∴f(x)＝x2＋3x＋3.

綜上所述，f(x)＝x2－2x＋3，或f(x)＝x2＋3x＋3.

知識點：函數的應用

題型：解答題