問題詳情：
已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
①求該二次函數圖象的頂點座標；
②定義：對於二次函數y＝px2+qx+r（p≠0），滿足方程y＝x的x的值叫做該二次函數的“不動點”．求*：二次函數y＝ax2+bx+c有兩個不同的“不動點”．
（2）設b＝c3，如圖所示，在平面直角座標系Oxy中，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸分別相交於不同的兩點A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，與y軸相交於點C，連結BC，點D在y軸的正半軸上，且OC＝OD，又點E的座標爲（1，0），過點D作垂直於y軸的直線與直線CE相交於點F，滿足∠AFC＝∠ABC．FA的延長線與BC的延長線相交於點P，若＝
，求二次函數的表達式．
【回答】
【解答】解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2
∴該二次函數圖象的頂點座標爲（1，﹣2）
②*：當y＝x時，x2﹣2x﹣1＝x
整理得：x2﹣3x﹣1＝0
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0
∴方程x2﹣3x﹣1＝0有兩個不相等的實數根
即二次函數y＝x2﹣2x﹣1有兩個不同的“不動點”．
（2）把b＝c3代入二次函數得：y＝ax2+c3x+c
∵二次函數與x軸交於點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）
即xx2爲方程ax2+c3x+c＝0的兩個不相等實數根
∴x1+x2＝﹣
，x1x2＝
∵當x＝0時，y＝ax2+c3x+c＝c
∴C（0，c）
∵E（1，0）
∴CE＝
，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1
∵DF⊥y軸，OC＝OD
∴DF∥x軸
∴
∴EF＝CE＝
，CF＝2
∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB
∴△AEF∽△CEB
∴，即AE•BE＝CE•EF
∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2
展開得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x1
1+c2＝﹣
﹣1﹣
c3+2ac2+2c+4a＝0
c2（c+2a）+2（c+2a）＝0
（c2+2）（c+2a）＝0
∵c2+2＞0
∴c+2a＝0，即c＝﹣2a
∴x1+x2＝﹣
＝4a2，x1x2＝＝﹣2，CF＝2
＝2
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8
∴AB＝x2﹣x1＝
∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P
∴△PFC∽△PBA
∴
∴
解得：a1＝1，a2＝﹣1（捨去）
∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4
∴二次函數的表達式爲y＝x2﹣4x﹣2
知識點：各地中考
題型：解答題
