定義域爲R的單調函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,(1)求f(0...

問題詳情：

定義域爲R的單調函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,

(1)求f(0),f(1);

(2)判斷函數f(x)的奇偶*,並*;

(3)若對於任意x∈[,3]都有f(kx2)+f(2x-1)<0成立,求實數k的取值範圍.

【回答】

解:(1)f(0)=0,f(1)=2.

(2)函數f(x)是奇函數.

*:由(1)f(0)=0,

所以f(0)=f(x)+f(-x)=0,

即f(-x)=-f(x),

所以f(x)爲奇函數.

(3)因爲f(x)是奇函數,且f(kx2)+f(2x-1)<0在x∈[,3]上恆成立,

所以f(kx2)<f(1-2x)在x∈[,3]上恆成立,

又因爲f(x)是定義域爲R的單調函數,

且f(0)=0<f(1)=2,

所以f(x)是R上的增函數.

所以kx2<1-2x在x∈[,3]上恆成立.

所以k<()2-2()在x∈[,3]上恆成立.

令g(x)=()2-2()=(-1)2-1,

由於≤x≤3,

所以≤≤2.

所以g(x)min=g(1)=-1.所以k<-1.

所以實數k的取值範圍爲(-∞,-1).

知識點：*與函數的概念

題型：解答題