問題詳情:
函數f(x)的定義域爲D={x|x≠0},且滿足對於任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶*並*你的結論;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數,求x的取值範圍.
【回答】
(1)∵對於任意x1,x2∈D,
有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
(2)f(x)爲偶函數.
*:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),
∴f(-1)=f(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x),∴f(x)爲偶函數.
(3)依題設有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函數,
∴f(x-1)<2⇔f(|x-1|)<f(16).
又f(x)在(0,+∞)上是增函數.
∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠1.
∴x的取值範圍是{x|-15<x<17且x≠1}.
知識點:*與函數的概念
題型:解答題