問題詳情:
已知函數f(x)對一切實數x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)<0,又f(3)=﹣2.
(1)試判定該函數的奇偶*;
(2)試判斷該函數在R上的單調*;
(3)求f(x)在[﹣12,12]上的最大值和最小值.
【回答】
解(1)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.
令y=﹣x,得f(0)=f(x)+f(﹣x)=0,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)爲奇函數.
(2)任取x1<x2,則x2﹣x1>0,
∴f(x2﹣x1)<0,
∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)<0,
即f(x2)<f(x1),
∴f(x)爲R上的減函數,
(3)∵f(x)在[﹣12,12]上爲減函數,
∴f(12)最小,f(﹣12)最大,
又f(12)=f(6)+f(6)=2f(6)=2[f(3)+f(3)]=4f(3)=﹣8,
∴f(﹣12)=﹣f(12)=8,
∴f(x)在[﹣12,12]上的最大值是8,最小值是﹣8
知識點:*與函數的概念
題型:解答題