問題詳情：
已知函數f（x），當x，y∈R時，恆有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，f（x）＞0
（1）求*：f（x）是奇函數；
（2）若
，試求f（x）在區間[﹣2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使f（2（
）2﹣4）+f（4m﹣2（
））＞0對任意x∈[1，2]恆成立？若存在，求出實數m的取值範圍；若不存在，說明理由．
【回答】
解：（1）令x=0，y=0，則f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=﹣x，則f（0）=f（x）+f（﹣x），
∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）爲奇函數；
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），
∵當x＞0時，f（x）＞0，且x1＜x2，
∴f（x2﹣x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）爲增函數，
∴當x=﹣2時，函數有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．
當x=6時，函數有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；
（3）∵函數 f（x）爲奇函數，
∴不等式
可化爲
，
又∵f（x）爲增函數，∴
，
令t=log2x，則0≤t≤1，
問題就轉化爲2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恆成立，
即4m＞﹣2t2+2t+4對任意t∈[0，1]恆成立，
令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞ymax，
而
（0≤t≤1），
∴當
時，
，則
．
∴m的取值範圍就爲
．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
