問題詳情：
已知：拋物線
與
軸的一個交點爲
（1）求拋物線與
軸的另一個交點
的座標；
（2）
是拋物線與
軸的交點，
是拋物線上的一點，且以
爲一底的梯形
的面積爲9，求此拋物線的解析式；
（3）
是第二象限內到
軸、
軸的距離的比爲
的點，如果點
在（2）中的拋物線上，且它與點
在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點
，使
的周長最小？若存在，求出點
的座標；若不存在，請說明理由．
【回答】
（1）
；（2）
或
；（3）存在，
．
【解析】（1）依題意，拋物線
拋物線的對稱軸爲
，如圖1示：
拋物線與
軸的一個交點爲
，
由拋物線的對稱*，可得拋物線與
軸的另一個交點
的座標爲
．
（2）
拋物線
與
軸的一個交點爲
，
，
，
，
梯形
中，
，且點
在拋物線
上，
，
，
，
梯形
的面積爲9，
，
，
，
所求拋物線的解析式爲
或
．
（3）設點
座標爲(x0 ,y0)，如圖2所示：
依題意，x0＜0，y0＜0，且
，
，
①設點
在拋物線
上，∴y0=x02+4x0+3，
解方程組
，得
，
點
與點
在對稱軸
的同側，
點
座標爲
，
．
設在拋物線的對稱軸
上存在一點
，使
的周長最小．
長爲定值，
要使
的周長最小，只須
最小
點
關於對稱軸
的對稱點是
由幾何知識可知，
是直線
與對稱軸
的交點
設過點
、
的直線的解析式爲
，
，解得
，
直線
的解析式爲
，
把
代入上式，得
，
點
座標爲
，
②設點
在拋物線
上，∴y0=-x02-4x0-3，
解方程組
，
消去y0，得
，
△
，
此方程組無實數根．
綜上，在拋物線的對稱軸上存在點
，使
的周長最小．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
