問題詳情：
如圖，已知拋物線
經過兩點
，
，
是拋物線與
軸的交點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點
在平面直角座標系第一象限內的拋物線上運動，設
的面積爲
，求
關於
的函數表達式（指出自變量
的取值範圍）和
的最大值；
（3）點
在拋物線上運動，點
在
軸上運動，是否存在點
、點
使得
，且
與
相似，如果存在，請求出點
和點
的座標．
【回答】
（1）將
、
代入
，
得：
，解得：
，
拋物線的解析式爲
．
（2）過點
作
軸，交
於點
，如圖1所示．
當
時，
，
點
的座標爲
．
設直線
的解析式爲
，
將
、
代入
，得：
，解得：
，
直線
的解析式爲
．
設點
的座標爲
，則點
的座標爲
，
，
，
當
時，
面積取最大值，最大值爲
．
點
在平面直角座標系第一象限內的拋物線上運動，
．
（3）存在點
、點
使得
，且
與
相似．
如圖2，
，當點
位於點
上方，過點
作
軸於點
，
，
，
，
若
與
相似，則
與
相似，
設
，
，
，
，
當
時，
，
，
解得，
，
，
此時
，
，
當
時，
，
，
解得
，
，
，
此時
．
如圖3，當點
位於點
的下方，
過點
作
軸於點
，
設
，
，
，
，
同理可得：
或
，
與
相似，
解得
或
，
，
或
，
此時
點座標爲
或
．
綜合以上得，
，
或
，
，
或
，
，
或
，
，使得
，且
與
相似．
知識點：各地中考
題型：綜合題
