問題詳情:
如圖,拋物線與x軸交於點,點,與y軸交於點C,且過點.點P、Q是拋物線上的動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當點P在直線OD下方時,求面積的最大值.
(3)直線OQ與線段BC相交於點E,當與相似時,求點Q的座標.
【回答】
(1)拋物線的表達式爲:;(2)有最大值,當時,其最大值爲;(3) 或或或.
【分析】
(1)函數的表達式爲:y=a(x+1)(x-3),將點D座標代入上式,即可求解;
(2)設點,求出,根據,利用二次函數的*質即可求解;
(3)分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ,兩種情況分別求解,透過角的關係,確定直線OQ傾斜角,進而求解.
【詳解】
解:(1)函數的表達式爲:,將點D座標代入上式並解得:,
故拋物線的表達式爲:…①;
(2)設直線PD與y軸交於點G,設點,
將點P、D的座標代入一次函數表達式:並解得,直線PD的表達式爲:,則,
,
∵,故有最大值,當時,其最大值爲;
(3)∵,∴,
∵,故與相似時,分爲兩種情況:
①當時,,,,
過點A作AH⊥BC與點H,
,解得:,
∴CH=
則,
則直線OQ的表達式爲:…②,
聯立①②並解得:,
故點或;
②時,
,
則直線OQ的表達式爲:…③,
聯立①③並解得:,
故點或;
綜上,點或或或.
【點睛】
本題考查的是二次函數綜合運用,涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計算等,其中(3),要注意分類求解,避免遺漏.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題