問題詳情:
已知關於x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有兩個實數根x1,x2.
(1)求實數k的取值範圍.
(2)是否存在實數k,使得x1x2﹣x12﹣x22=﹣16成立?若存在,請求出k的值;若不存在,請說明理由.
【回答】
【解析】(1)根據判別式的意義得到△=(2k+1)2﹣4(k2+2k)≥0,然後解不等式即可;
(2)根據根與係數的關係得到x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k,再把x1x2﹣x12﹣x22=﹣16變形爲﹣(x1+x2)2+3x1•x2=﹣16,所以﹣(2k+1)2+3(k2+2k)=﹣16,然後解方程後利用(1)中的範圍確定滿足條件的k的值.
解:(1)根據題意得△=(2k+1)2﹣4(k2+2k)≥0,解得k≤;
(2)根據題意得x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k,
∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣16.∴x1x2﹣[(x1+x2)2﹣2x1x2]=﹣16,
即﹣(x1+x2)2+3x1•x2=﹣16,∴﹣(2k+1)2+3(k2+2k)=﹣16,
整理得k2﹣2k﹣15=0,
解得k1=5(捨去),k2=﹣3. ∴k=﹣3.
知識點:解一元二次方程
題型:解答題