問題詳情:
如果存在常數k使得無窮數列滿足恆成立,則稱爲數列.
(1)若數列是數列,,,求;
(2)若等差數列是數列,求數列的通項公式;
(3)是否存在數列,使得,,,…是等比數列?若存在,請求出所有滿足條件的數列;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1);(2)或或;(3)存在;滿足條件的數列有無窮多個,其通項公式爲.
【分析】
(1)根據數列的定義,得,,可求;
(2)根據數列的定義,得,分和兩種情況討論. 當,.當時,由是等差數列,對賦值,求出和公差,即求;
(3)假設存在滿足條件的數列,設等比數列,,,…的公比爲q.則有,,可得q=1,故當時,.當時,不妨設,且i爲奇數,
由,可得.
即滿足條件的數列有無窮多個,其通項公式爲.
【詳解】
(1)由數列是數列,得,,可得;
(2)由是數列知恆成立,取m=1得恆成立,
當,時滿足題意,此時,
當時,由可得,取m=n=2得,
設公差爲d,則解得或者,
綜上,或或,經檢驗均合題意.
(3)假設存在滿足條件的數列,
不妨設該等比數列,,,…的公比爲q,
則有,
可得①
,
可得②
綜上①②可得q=1,
故,代入得,
則當時,,
又,
當時,不妨設,且i爲奇數,
由,
而,,,.
綜上,滿足條件的數列有無窮多個,其通項公式爲.
【點睛】
本題考查創新型題目,考查等差數列和等比數列的通項公式,考查學生的邏輯推理能力和計算能力,屬於難題.
知識點:數列
題型:解答題