問題詳情：
（1）問題發現
如圖1，△ACB和△DCE均爲等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．
填空：
①∠AEB的度數爲 ；
②線段AD，BE之間的數量關係爲 ．
（2）拓展探究
如圖2，△ACB和△DCE均爲等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM爲△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關係，並說明理由．
（3）解決問題
如圖3，在正方形ABCD中，CD=
，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．
【回答】
【分析】（1）由條件易*△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數，*出AD=BE；由△DCE爲等腰直角三角形及CM爲△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而*到AE=2CH+BE．
（3）由PD=1可得：點P在以點D爲圓心，1爲半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD爲直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由於兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論．然後，添加適當的輔助線，藉助於（2）中的結論即可解決問題．
【解答】解：（1）①如圖1，
∵△ACB和△DCE均爲等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE爲等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．
故*爲：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故*爲：AD=BE．
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如圖2，
∵△ACB和△DCE均爲等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE爲等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）點A到BP的距離爲
或
．
理由如下：
∵PD=1，
∴點P在以點D爲圓心，1爲半徑的圓上．
∵∠BPD=90°，
∴點P在以BD爲直徑的圓上．
∴點P是這兩圓的交點．
①當點P在如圖3①所示位置時，
連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足爲H，
過點A作AE⊥AP，交BP於點E，如圖3①．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=
，∠BAD=90°．
∴BD=2．
∵DP=1，
∴BP=
．
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD爲直徑的圓上，
∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，
∴由（2）中的結論可得：BP=2AH+PD．
∴
=2AH+1．
∴AH=
．
②當點P在如圖3②所示位置時，
連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足爲H，
過點A作AE⊥AP，交PB的延長線於點E，如圖3②．
同理可得：BP=2AH﹣PD．
∴=2AH﹣1．
∴AH=．
綜上所述：點A到BP的距離爲
或
．
【點評】本題考查了等邊三角形的*質、正方形的*質、等腰三角形的*質、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與*質等知識，考查了運用已有的知識和經驗解決問題的能力，是體現新課程理念的一道好題．而透過添加適當的輔助線從而能用（2）中的結論解決問題是解決第（3）的關鍵．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：綜合題
