問題詳情：
如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P爲AD的中點，連接AE、BD．
（1）猜想PM與PN的數量關係及位置關係，請直接寫出結論；
（2）現將圖①中的△CDE繞着點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交於點G、H．請判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請*；若不成立，請說明理由；
（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數量關係，並加以*．
【回答】
解：
（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P爲AD的中點，
∴PM=
BD，PN=
AE，
∴PM=PN，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵點P、M、N分別爲AD、AB、DE的中點，
∴PM=
BD，PM∥BD；
PN=AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．
∴∠MPN=90°．
∴PM⊥PN．
（3）PM=kPN
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，
∴
=k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD=kAE．
∵點P、M、N分別爲AD、AB、DE的中點，
∴PM=
BD，PN=
AE．
∴PM=kPN．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
