問題詳情：
如圖15，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD爲梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.過A1，C，D三點的平面記爲α，BB1與α的交點爲Q.
圖15
(1)*：Q爲BB1的中點；
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比；
(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面積爲6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大小．
【回答】
解： (1)*：因爲BQ∥AA1，BC∥AD，
BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，
所以平面QBC∥平面A1AD，
從而平面A1CD與這兩個平面的交線相互平行，
即QC∥A1D.
故△QBC與△A1AD的對應邊相互平行，
於是△QBC∽△A1AD，
所以＝＝＝，即Q爲BB1的中點．
(2)如圖1所示，連接QA，QD.設AA1＝h，梯形ABCD 的高爲d，四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積分別爲V上和V下，BC＝a，則AD＝2a.
圖1
V三棱錐Q A1AD＝×·2a·h·d＝ahd，
V四棱錐Q ABCD＝··d·＝ahd，
所以V下＝V三棱錐Q A1AD＋V四棱錐Q ABCD＝ahd.
又V四棱柱A1B1C1D1 ABCD＝ahd，
所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1 ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.
(3)方法一：如圖1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足爲E，連接A1E.
又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，
所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E.
所以∠AEA1爲平面α與底面ABCD所成二面角的平面角．
因爲BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA.
又因爲梯形ABCD的面積爲6，DC＝2，
所以S△ADC＝4，AE＝4.
於是tan∠AEA1＝＝1，∠AEA1＝.
故平面α與底面ABCD所成二面角的大小爲.
方法二：如圖2所示，以D爲原點，DA，分別爲x軸和z軸正方向建立空間直角座標系．
設∠CDA＝θ，BC＝a，則AD＝2a.
因爲S四邊形ABCD＝·2sin θ＝6，
所以a＝.
圖2
知識點：空間中的向量與立體幾何
題型：解答題
