如圖1，四邊形ABCD爲直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E爲CD上一點，F爲BE的中點，...

問題詳情：

如圖1，四邊形ABCD爲直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E爲CD上一點，F爲BE的中點，且DE=1，EC=2，現將梯形沿BE摺疊（如圖2），使平面BCE⊥ABED． （1）求*：平面ACE⊥平面BCE； （2）能否在邊AB上找到一點P（端點除外）使平面ACE與平面PCF所成角的餘弦值爲？若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

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【回答】

（1）*：在直角梯形ABCD中，作DM⊥BC於M，連接AE， 則CM=2-1=1，CD=DE+CE=1+2=3， 則DM=AB=2，cosC=，則 BE==，sin∠CDM=， 則AE==，（2分） ∴AE2+BE2=AB2， 故AE⊥BE，且摺疊後AE與BE位置關係不變…（4分） 又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE， ∴AE⊥面BCE， ∵AE⊂平面ACE， ∴平面ACE⊥平面BCE…（6分） （2）解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F爲BE的中點 ∴CF⊥BE 又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE， ∴CF⊥面ABED， 故可以F爲座標原點建立如圖所示的空間直角座標系 則A（，-，0），C（0，0，），E（0，-，0）， 易求得面ACE的法向量爲=（0，-，1）…（8分） 假設在AB上存在一點P使平面ACE與平面PCF， 所成角的餘弦值爲，且，（λ∈R）， ∵B（0，，0）， ∴=（-，，0）， 故=（-λ，λ，0）， 又=（，-，-）， ∴=（（1-λ），（2λ-1），-）， 又 =（0，0，）， 設面PCF的法向量爲=（x，y，z）， ∴ 令x=2λ-1得=（2λ-1，（λ-1），0）…（10分） ∴|cos＜＞|==， 解得…（12分）

因此存在點P且P爲線段AB中點時使得平面ACE與平面PCF所成角的餘弦值爲．

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題