問題詳情：
設f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導數f′(x)滿足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數a，b∈R.
(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)設g(x)＝f′(x)e－x，求函數g(x)的極值．
【回答】
解：(1)由於f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
則
解得
所以f(x)＝x3－
x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3.
於是有f(1)＝－
.又f′(1)＝－3，
故曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程爲y－
＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
則g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x，
令g′(x)＝0得x＝0或x＝3，
當x≤0或x≥3時，g′(x)≤0，
當0≤x≤3時，g′(x)≥0，於是函數g(x)在(－∞，0]上單調遞減，在[0,3]上單調遞增，在[3，＋∞)上單調遞減．
所以函數g(x)在x＝0處取得極小值g(0)＝－3，在x＝3處取得極大值g(3)＝15e－3.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
