問題詳情:
已知關於x的一元二次方程x2﹣(m+1)x+(m2+1)=0有實數根.
(1)求m的值;
(2)先作y=x2﹣(m+1)x+(m2+1)的圖象關於x軸的對稱圖形,然後將所作圖形向左平移3個單位長度,再向上平移2個單位長度,寫出變化後圖象的解析式;
(3)在(2)的條件下,當直線y=2x+n(n≥m)與變化後的圖象有公共點時,求n2﹣4n的最大值和最小值.
【回答】
【考點】HA:拋物線與x軸的交點;AA:根的判別式;H6:二次函數圖象與幾何變換;H7:二次函數的最值.
【分析】(1)由題意△≥0,列出不等式,解不等式即可;
(2)畫出翻折.平移後的圖象,根據頂點座標即可寫出函數的解析式;
(3)首先確定n的取值範圍,利用二次函數的*質即可解決問題;
【解答】解:(1)對於一元二次方程x2﹣(m+1)x+(m2+1)=0,
△=(m+1)2﹣2(m2+1)=﹣m2+2m﹣1=﹣(m﹣1)2,
∵方程有實數根,
∴﹣(m﹣1)2≥0,
∴m=1.
(2)由(1)可知y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
圖象如圖所示:
平移後的解析式爲y=﹣(x+2)2+2=﹣x2﹣4x﹣2.
(3)由消去y得到x2+6x+n+2=0,
由題意△≥0,
∴36﹣4n﹣8≥0,
∴n≤7,
∵n≤m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2﹣4n=(n﹣2)2﹣4,
∴n=2時,y′的值最小,最小值爲﹣4,
n=7時,y′的值最大,最大值爲21,
∴n2﹣4n的最大值爲21,最小值爲﹣4.
知識點:各地中考
題型:解答題