問題詳情：
已知曲線C的方程爲ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a爲常數).
(1)判斷曲線C的形狀;
(2)設曲線C分別與x軸,y軸交於點A,B(A,B不同於原點O),試判斷△AOB的面積S是否爲定值?並*你的判斷;
(3)設直線l:y=-2x+4與曲線C交於不同的兩點M,N,且|OM|=|ON|,求曲線C的方程.
【回答】
解:(1)將曲線C的方程化爲x2+y2-2ax-y=0⇒(x-a)2+(y-)2=a2+,
可知曲線C是以點(a,)爲圓心,以
爲半徑的圓.
(2)△AOB的面積S爲定值.
*如下:在曲線C的方程中令y=0,得ax(x-2a)=0,得點A(2a,0),
在曲線C方程中令x=0,
得y(ay-4)=0,
得點B(0,),
所以S=|OA|·|OB|=·|2a|·||=4(定值).
(3)因爲圓C過座標原點,
且|OM|=|ON|,
所以OC⊥MN,
所以=,
所以a=±2.
當a=-2時,圓心座標爲(-2,-1),圓的半徑爲
.
圓心到直線l:y=-2x+4的距離
d=
=
>,
直線l與圓C相離,不合題意捨去,
a=2時符合題意.
這時曲線C的方程爲x2+y2-4x-2y=0.
知識點：圓與方程
題型：綜合題
