問題詳情：
已知中心在原點的雙曲線C的右焦點爲(2,0),右頂點爲(
,0).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與雙曲線C交於不同的兩點M,N,且線段MN的垂直平分線過點A(0,-1),求實數m的取值範圍.
【回答】
解:(1)設雙曲線方程爲-=1(a>0,b>0).
由已知得a=
,c=2,
又a2+b2=c2,得b2=1,
故雙曲線C的方程爲-y2=1.
(2)聯立
整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.
因爲直線與雙曲線有兩個不同的交點,
所以
可得m2>3k2-1且k2≠.①
設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點爲B(x0,y0),
則x1+x2=
,x0=
=
,
y0=kx0+m=
,
由題意得,AB⊥MN,
kAB=
=-(k≠0,m≠0),
整理得3k2=4m+1,②
將②代入①,得m2-4m>0,
所以m<0或m>4,
又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-.
所以m的取值範圍是(-,0)∪(4,+∞).
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
