問題詳情：
已知曲線C:x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0,其中k≠－1.
(1)求*:曲線C都表示圓,並且這些圓心都在同一條直線上;
(2)*:曲線C過定點;
(3)若曲線C與x軸相切,求k的值.
【回答】
解:(1)原方程可化爲(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.
∵k≠－1,
∴5(k＋1)2＞0.
故方程表示圓心爲(－k,－2k－5),
半徑爲
的圓.
設圓心爲(x,y),有
消去k,得2x－y－5＝0.
∴這些圓的圓心都在直線2x－y－5＝0上.
(2)將原方程變形成
k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.
上式關於參數k是恆等式,
∴
解得
∴曲線C過定點(1,－3).
(3)∵圓C與x軸相切,
∴圓心到x軸的距離等於半徑,
即|－2k－5|＝
|k＋1|.
兩邊平方,得(2k＋5)2＝5(k＋1)2.
∴
.
知識點：圓與方程
題型：解答題
